Découvrir et utiliser le module Calcul formel de GeoGebra Classique 6

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Nous pensons souvent que le logiciel de mathématiques GeoGebra permet uniquement de construire des figures géométriques en 2D ou en 3D. Mais en réalité, GeoGebra permet de faire beaucoup plus de choses… Dans ce tutoriel, je vous propose de découvrir l’une des autres fonctionnalités de GeoGebra : le module Calcul formel, avec l’application GeoGebra Classique 6. Ce module vous permettra de résoudre des équations, factoriser et développer des expressions…

Dans ce tutoriel, j’utilise le module Calcul formel avec l’application GeoGebra Classique 6, mais il est également possible de l’utiliser avec une autre application GeoGebra. Dans ce cas, ce tutoriel pourra vous éclairer sur certains points.

Installer et lancer l’application GeoGebra Classique 6

Pour ouvrir le module Calcul formel, il faut, au préalable, lancer l’application GeoGebra Classique 6. Celle-ci est gratuite, utilisable et téléchargeable hors ligne sur Windows, iOS, Mac, Android et Linux.

Pour accéder à l’application GeoGebra Classique 6, cliquez sur ce lien. Vous devriez arriver sur la page suivante du logiciel GeoGebra (l’application qui nous intéresse est entourée en rouge) :

Une fois arrivé à cette page, vous avez 2 possibilités : soit vous décidez de télécharger l’application en cliquant sur le bouton Télécharger (1). Une fois que vous l’avez téléchargée, ouvrez l’application. Sinon, vous pouvez aussi choisir de lancer l’application dans votre navigateur, sans la télécharger, en cliquant sur le bouton Lancer (2). L’application va alors s’ouvrir dans un nouvel onglet de votre navigateur.

Dans les deux cas, la fenêtre ouverte est la même et doit être celle ci-dessous.

Ouvrir le module Calcul formel

Une fois l’application GeoGebra Classique 6 ouverte, vous arrivez donc sur la fenêtre d’accueil. Pour ouvrir le module Calcul formel de l’application, il vous suffit de cliquer sur Calcul formel (entouré et indiqué par une flèche en rouge ci-dessous) dans la petite fenêtre à droite de votre écran, qui propose différents modules :

Si cette petite fenêtre venait à disparaitre (un seul clic suffit pour ça), allez dans le menu, en haut à droite (1), puis une fois le menu ouvert, cliquez sur Associations (2) et enfin sur Calcul formel (3). Les étapes sont ci-dessous :

Une fois que vous avez cliqué sur Calcul formel, la fenêtre suivante devrait ainsi s’ouvrir, indiquant que vous êtes arrivés sur le module Calcul formel de l’application :

Quelques outils de Calcul formel à connaître

Une fois que vous êtes arrivés sur la fenêtre du module Calcul formel, vous remarquerez la présence en haut à gauche d’une barre d’outils présentant les différents outils de la fenêtre :

Parmi les différents outils proposés, nous allons nous intéresser tout d’abord aux outils Evaluer (1), Numérique (2), Conserver la saisie (3) et Effacer (4).

  • L’outil Evaluer (1) permet d’évaluer une expression, ou autre, de manière exacte. Il est déjà sélectionné automatiquement à l’ouverture de la fenêtre.
  • Au contraire, l’outil Numérique (2) permet d’évaluer une expression (ou autre) de manière approchée. Il donnera donc des résultats approchés.

Voici un exemple pour vous montrer la différence entre les outils Evaluer et Numérique :

Conseil : Je vous conseille donc fortement de laisser l’outil Evaluer (1), notamment pour résoudre des équations. Si vous voulez avoir une solution approchée, dans ce cas sélectionnez l’outil Numérique (2).

  • L’outil Conserver la saisie (3) vous permet de conserver l’expression saisie. Cet outil peut être utilisé dans le cas où l’on voudrait réutiliser la saisie pour la suite.

Voici un exemple pour faire la différence entre Conserver la saisie et Evaluer :

  • Enfin, l’outil Effacer (4), permet d’effacer une saisie ou une erreur, en sélectionnant l’objet que l’on souhaite supprimer.

Factoriser des expressions

Commençons par l’outil Factoriser, qui permet de factoriser des expressions.

Rentrez tout d’abord dans le champ de saisie l’expression que vous souhaitez développer (1). Notez que GeoGebra a simplifié l’expression que j’ai mise en exemple (même si cela n’a aucune importance). Ensuite, sélectionnez la case à gauche de la première saisie où est indiqué son numéro et qui doit devenir bleu foncé (2). Puis, cliquez sur l’outil Factoriser (3) pour factoriser l’expression.

Enfin, GeoGebra vous renvoie la forme factorisée de l’expression rentrée (4). Attention cependant : si GeoGebra arrive à bien factoriser tous types d’expressions, il a énormément de mal à factoriser des polynômes.

Développer des expressions

Passons maintenant à l’outil Développer, permettant de développer des expressions. Prenons pour exemple l’expression (2x+1)(21x-72), que l’on cherche à développer. Entrez cette expression dans le champ de saisie (1), puis appuyez sur l’outil Développer (2).

La forme développée de l’expression apparaît alors (3). Notez qu’avec des expressions comme celle-ci, en passant au champ de saisie suivant, GeoGebra développe tout seul l’expression.

Substituer des expressions

L’outil Substituer, permet, quant à lui, de remplacer une expression ou une variable par une autre (donc de la substituer😉)

Rentrez dans le champ de saisie l’expression que vous souhaitez substituer (1). Par exemple, ici, l’expression 3x+5. Puis, sélectionnez le champ de saisie et cliquez sur l’outil Substituer (2).

Une fenêtre va alors s’ouvrir (ci-contre). Dans cette fenêtre, on vous demande de choisir l’expression ou la variable que vous souhaitez modifier (Ancienne expression) et par quelle expression ou variable vous désirez la remplacer (Nouvelle expression). Ici, j’ai choisi de remplacer la variable x par 2a. Enfin, pour valider, choisissez le mode de substitution : Evaluer (A), Numérique (B) ou Substituer (C). Dans l’exemple ci-contre, j’ai validé en cliquant sur Evaluer (A).

Remarquez qu’après la validation, la variable x a été remplacée par 2a et donc que l’expression a changé. Ce résultat aurait été le même en cliquant sur Numérique (B) mais aurait changé si j’avais remplacé x par une fraction (il l’aurait alors arrondi). Si j’avais choisi de valider en cliquant sur Substituer (C), le résultat, avec l’exemple, aurait été 3(2a)+5.

Résoudre des équations, des inéquations et des systèmes d’équations

Nous allons maintenant voir comment résoudre des équations, des inéquations ainsi que des systèmes d’équations à plusieurs inconnues avec le module Calcul formel de GeoGebra Classique 6.

Commençons par la résolution d’une seule équation. Pour cela, j’ai pris pour exemple l’équation 7x2+42x-21.

  • Même protocole que précédemment : rentrez l’équation que vous souhaitez résoudre dans le champ de saisie puis sélectionnez le. Arrivé là, vous avez alors deux manières de résoudre l’équation : soit de manière exacte (GeoGebra renvoie la valeur exacte de la solution) avec l’outil Résoudre (1), ou de manière approchée (GeoGebra renvoie alors une valeur approchée avec 2 chiffres après la virgule) avec l’outil Résoudre numériquement (2).
  • Une fois que vous avez cliqué sur l’un de ces deux outils, GeoGebra renvoie la ou les solutions sous la forme d’un ensemble (avec les accolades). Vous remarquerez, ci-contre, que les solutions de l’équation, obtenues avec l’outil Résoudre (1) sont les solutions exactes, au contraire de celles obtenues avec l’outil Résoudre numériquement (2).

Dans l’exemple ci-dessus, j’ai résolu l’équation 7x2 + 42x – 21 = 0. Mais si vous voulez résoudre une égalité différente, il vous suffit simplement de réécrire votre égalité dans le champ de saisie. La méthode vue pour résoudre des équations fonctionne également très bien pour résoudre des inéquations (pensez juste à remplacer le = par < ; ≤ ; >ou ≥). Petits exemples ci-dessous :

Pour résoudre un système d’équations à plusieurs inconnues, il s’agit du même principe, à la seule différence que cette fois-ci, il y aura plusieurs équations à résoudre en même temps. Alors, comment faire ?

  • Vous pouvez tout d’abord écrire les différentes équations du système puis sélectionner les champs de saisie, pour enfin appuyer sur l’outil Résoudre (entouré en rouge).
  • Ou bien, rentrez dans les champs de saisie les équations du système, puis dans le champ de saisie suivant, rentrez, entre accolades, les numéros des lignes des équations du système. Ceux-ci doivent être précédés de $ et séparés par une virgule (1). Enfin, appuyez sur l’outil Résoudre (2).

GeoGebra nous renvoie alors les valeurs des inconnues du système.

Et vous pouvez, grâce à cette méthode, résoudre des systèmes avec un grand nombre d’inconnues et d’équations. Exemple ci-contre :

Dérivé et primitive

Avec le module Calcul formel de GeoGebra, on peut également faire de la dérivation et calculer des intégrales.

Afin de trouver la dérivé d’une fonction, il faut tout d’abord la définir. Pour ce faire, rentrez dans le champ de saisie l’expression de la fonction (uniquement).

Ensuite, cliquez sur le rond blanc à gauche de l’expression saisie (indiqué par la flèche rouge ci-dessus). Il permet d’afficher la fonction sur le graphique à côté, ainsi que lui donner un nom. Résultat ci-dessous :

Enfin, appuyez sur l’outil Dérivé (1). La fonction dérivée apparaît alors (2). Elle a également été nommée automatiquement.

Le module Calcul formel permet aussi de calculer des primitives ou des intégrales. Rentrez alors l’expression dont vous cherchez la primitive (1), puis cliquez sur l’outil Primitive (2).

L’intégrale de l’expression nous est ensuite renvoyée (3). On peut, de plus, utiliser d’autres variables que x, et en même temps.

Sauvegarder son travail

Vous avez réalisé des calculs avec le module Calcul formel de GeoGebra, et vous désirez les conserver. Pour les sauvegarder, c’est simple : il suffit de cliquer sur les trois barres noires horizontales (qui correspondent au menu) en haut à droite de la fenêtre (1). Ensuite, dans le menu qui s’affiche, cliquez sur Sauvegarder (2).

Enfin, une fenêtre s’affiche vous demandant de vous connecter à votre compte GeoGebra pour sauvegarder votre travail. Connectez-vous à votre compte ou créez-en un (3). Sinon, cliquez sur Continuer sans sauvegarder (4) pour enregistrer votre travail ailleurs que sur GeoGebra.

Conclusion

En conclusion, le module Calcul formel de GeoGebra (Classique 6😁) permet de développer, factoriser et substituer des expressions, ainsi que résoudre des équations, inéquations et systèmes d’équations, mais également dériver une fonction ou trouver l’intégrale d’une expression. Ce module peut vous être utile, notamment si vous avez des difficultés en calcul formel, afin de vous entraîner et vous rendre plus accessible des choses qui peuvent vous sembler compliquées, tout en utilisant peu d’outils.