Author: David G.

Tutoriels

Découvrir et utiliser le module Calcul formel de GeoGebra…

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Nous pensons souvent que le logiciel de mathématiques GeoGebra permet uniquement de construire des figures géométriques en 2D ou en 3D. Mais en réalité, GeoGebra permet de faire beaucoup plus de choses… Dans ce tutoriel, je vous propose de découvrir l’une des autres fonctionnalités de GeoGebra : le module Calcul formel, avec l’application GeoGebra Classique 6. Ce module vous permettra de résoudre des équations, factoriser et développer des expressions…

Dans ce tutoriel, j’utilise le module Calcul formel avec l’application GeoGebra Classique 6, mais il est également possible de l’utiliser avec une autre application GeoGebra. Dans ce cas, ce tutoriel pourra vous éclairer sur certains points.

Installer et lancer l’application GeoGebra Classique 6

Pour ouvrir le module Calcul formel, il faut, au préalable, lancer l’application GeoGebra Classique 6. Celle-ci est gratuite, utilisable et téléchargeable hors ligne sur Windows, iOS, Mac, Android et Linux.

Pour accéder à l’application GeoGebra Classique 6, cliquez sur ce lien. Vous devriez arriver sur la page suivante du logiciel GeoGebra (l’application qui nous intéresse est entourée en rouge) :

Une fois arrivé à cette page, vous avez 2 possibilités : soit vous décidez de télécharger l’application en cliquant sur le bouton Télécharger (1). Une fois que vous l’avez téléchargée, ouvrez l’application. Sinon, vous pouvez aussi choisir de lancer l’application dans votre navigateur, sans la télécharger, en cliquant sur le bouton Lancer (2). L’application va alors s’ouvrir dans un nouvel onglet de votre navigateur.

Dans les deux cas, la fenêtre ouverte est la même et doit être celle ci-dessous.

Ouvrir le module Calcul formel

Une fois l’application GeoGebra Classique 6 ouverte, vous arrivez donc sur la fenêtre d’accueil. Pour ouvrir le module Calcul formel de l’application, il vous suffit de cliquer sur Calcul formel (entouré et indiqué par une flèche en rouge ci-dessous) dans la petite fenêtre à droite de votre écran, qui propose différents modules :

Si cette petite fenêtre venait à disparaitre (un seul clic suffit pour ça), allez dans le menu, en haut à droite (1), puis une fois le menu ouvert, cliquez sur Associations (2) et enfin sur Calcul formel (3). Les étapes sont ci-dessous :

Une fois que vous avez cliqué sur Calcul formel, la fenêtre suivante devrait ainsi s’ouvrir, indiquant que vous êtes arrivés sur le module Calcul formel de l’application :

Quelques outils de Calcul formel à connaître

Une fois que vous êtes arrivés sur la fenêtre du module Calcul formel, vous remarquerez la présence en haut à gauche d’une barre d’outils présentant les différents outils de la fenêtre :

Parmi les différents outils proposés, nous allons nous intéresser tout d’abord aux outils Evaluer (1), Numérique (2), Conserver la saisie (3) et Effacer (4).

  • L’outil Evaluer (1) permet d’évaluer une expression, ou autre, de manière exacte. Il est déjà sélectionné automatiquement à l’ouverture de la fenêtre.
  • Au contraire, l’outil Numérique (2) permet d’évaluer une expression (ou autre) de manière approchée. Il donnera donc des résultats approchés.

Voici un exemple pour vous montrer la différence entre les outils Evaluer et Numérique :

Conseil : Je vous conseille donc fortement de laisser l’outil Evaluer (1), notamment pour résoudre des équations. Si vous voulez avoir une solution approchée, dans ce cas sélectionnez l’outil Numérique (2).

  • L’outil Conserver la saisie (3) vous permet de conserver l’expression saisie. Cet outil peut être utilisé dans le cas où l’on voudrait réutiliser la saisie pour la suite.

Voici un exemple pour faire la différence entre Conserver la saisie et Evaluer :

  • Enfin, l’outil Effacer (4), permet d’effacer une saisie ou une erreur, en sélectionnant l’objet que l’on souhaite supprimer.

Factoriser des expressions

Commençons par l’outil Factoriser, qui permet de factoriser des expressions.

Rentrez tout d’abord dans le champ de saisie l’expression que vous souhaitez développer (1). Notez que GeoGebra a simplifié l’expression que j’ai mise en exemple (même si cela n’a aucune importance). Ensuite, sélectionnez la case à gauche de la première saisie où est indiqué son numéro et qui doit devenir bleu foncé (2). Puis, cliquez sur l’outil Factoriser (3) pour factoriser l’expression.

Enfin, GeoGebra vous renvoie la forme factorisée de l’expression rentrée (4). Attention cependant : si GeoGebra arrive à bien factoriser tous types d’expressions, il a énormément de mal à factoriser des polynômes.

Développer des expressions

Passons maintenant à l’outil Développer, permettant de développer des expressions. Prenons pour exemple l’expression (2x+1)(21x-72), que l’on cherche à développer. Entrez cette expression dans le champ de saisie (1), puis appuyez sur l’outil Développer (2).

La forme développée de l’expression apparaît alors (3). Notez qu’avec des expressions comme celle-ci, en passant au champ de saisie suivant, GeoGebra développe tout seul l’expression.

Substituer des expressions

L’outil Substituer, permet, quant à lui, de remplacer une expression ou une variable par une autre (donc de la substituer😉)

Rentrez dans le champ de saisie l’expression que vous souhaitez substituer (1). Par exemple, ici, l’expression 3x+5. Puis, sélectionnez le champ de saisie et cliquez sur l’outil Substituer (2).

Une fenêtre va alors s’ouvrir (ci-contre). Dans cette fenêtre, on vous demande de choisir l’expression ou la variable que vous souhaitez modifier (Ancienne expression) et par quelle expression ou variable vous désirez la remplacer (Nouvelle expression). Ici, j’ai choisi de remplacer la variable x par 2a. Enfin, pour valider, choisissez le mode de substitution : Evaluer (A), Numérique (B) ou Substituer (C). Dans l’exemple ci-contre, j’ai validé en cliquant sur Evaluer (A).

Remarquez qu’après la validation, la variable x a été remplacée par 2a et donc que l’expression a changé. Ce résultat aurait été le même en cliquant sur Numérique (B) mais aurait changé si j’avais remplacé x par une fraction (il l’aurait alors arrondi). Si j’avais choisi de valider en cliquant sur Substituer (C), le résultat, avec l’exemple, aurait été 3(2a)+5.

Résoudre des équations, des inéquations et des systèmes d’équations

Nous allons maintenant voir comment résoudre des équations, des inéquations ainsi que des systèmes d’équations à plusieurs inconnues avec le module Calcul formel de GeoGebra Classique 6.

Commençons par la résolution d’une seule équation. Pour cela, j’ai pris pour exemple l’équation 7x2+42x-21.

  • Même protocole que précédemment : rentrez l’équation que vous souhaitez résoudre dans le champ de saisie puis sélectionnez le. Arrivé là, vous avez alors deux manières de résoudre l’équation : soit de manière exacte (GeoGebra renvoie la valeur exacte de la solution) avec l’outil Résoudre (1), ou de manière approchée (GeoGebra renvoie alors une valeur approchée avec 2 chiffres après la virgule) avec l’outil Résoudre numériquement (2).
  • Une fois que vous avez cliqué sur l’un de ces deux outils, GeoGebra renvoie la ou les solutions sous la forme d’un ensemble (avec les accolades). Vous remarquerez, ci-contre, que les solutions de l’équation, obtenues avec l’outil Résoudre (1) sont les solutions exactes, au contraire de celles obtenues avec l’outil Résoudre numériquement (2).

Dans l’exemple ci-dessus, j’ai résolu l’équation 7x2 + 42x – 21 = 0. Mais si vous voulez résoudre une égalité différente, il vous suffit simplement de réécrire votre égalité dans le champ de saisie. La méthode vue pour résoudre des équations fonctionne également très bien pour résoudre des inéquations (pensez juste à remplacer le = par < ; ≤ ; >ou ≥). Petits exemples ci-dessous :

Pour résoudre un système d’équations à plusieurs inconnues, il s’agit du même principe, à la seule différence que cette fois-ci, il y aura plusieurs équations à résoudre en même temps. Alors, comment faire ?

  • Vous pouvez tout d’abord écrire les différentes équations du système puis sélectionner les champs de saisie, pour enfin appuyer sur l’outil Résoudre (entouré en rouge).
  • Ou bien, rentrez dans les champs de saisie les équations du système, puis dans le champ de saisie suivant, rentrez, entre accolades, les numéros des lignes des équations du système. Ceux-ci doivent être précédés de $ et séparés par une virgule (1). Enfin, appuyez sur l’outil Résoudre (2).

GeoGebra nous renvoie alors les valeurs des inconnues du système.

Et vous pouvez, grâce à cette méthode, résoudre des systèmes avec un grand nombre d’inconnues et d’équations. Exemple ci-contre :

Dérivé et primitive

Avec le module Calcul formel de GeoGebra, on peut également faire de la dérivation et calculer des intégrales.

Afin de trouver la dérivé d’une fonction, il faut tout d’abord la définir. Pour ce faire, rentrez dans le champ de saisie l’expression de la fonction (uniquement).

Ensuite, cliquez sur le rond blanc à gauche de l’expression saisie (indiqué par la flèche rouge ci-dessus). Il permet d’afficher la fonction sur le graphique à côté, ainsi que lui donner un nom. Résultat ci-dessous :

Enfin, appuyez sur l’outil Dérivé (1). La fonction dérivée apparaît alors (2). Elle a également été nommée automatiquement.

Le module Calcul formel permet aussi de calculer des primitives ou des intégrales. Rentrez alors l’expression dont vous cherchez la primitive (1), puis cliquez sur l’outil Primitive (2).

L’intégrale de l’expression nous est ensuite renvoyée (3). On peut, de plus, utiliser d’autres variables que x, et en même temps.

Sauvegarder son travail

Vous avez réalisé des calculs avec le module Calcul formel de GeoGebra, et vous désirez les conserver. Pour les sauvegarder, c’est simple : il suffit de cliquer sur les trois barres noires horizontales (qui correspondent au menu) en haut à droite de la fenêtre (1). Ensuite, dans le menu qui s’affiche, cliquez sur Sauvegarder (2).

Enfin, une fenêtre s’affiche vous demandant de vous connecter à votre compte GeoGebra pour sauvegarder votre travail. Connectez-vous à votre compte ou créez-en un (3). Sinon, cliquez sur Continuer sans sauvegarder (4) pour enregistrer votre travail ailleurs que sur GeoGebra.

Conclusion

En conclusion, le module Calcul formel de GeoGebra (Classique 6😁) permet de développer, factoriser et substituer des expressions, ainsi que résoudre des équations, inéquations et systèmes d’équations, mais également dériver une fonction ou trouver l’intégrale d’une expression. Ce module peut vous être utile, notamment si vous avez des difficultés en calcul formel, afin de vous entraîner et vous rendre plus accessible des choses qui peuvent vous sembler compliquées, tout en utilisant peu d’outils.

Art

Astronomie : Le Seigneur des Anneaux … d’Uranus

Dans cet article, nous allons vous présenter notre projet sur Uranus, la septième planète du système solaire, que nous avons réalisée grâce au module turtle de python. Pour rédiger le script, nous avons notamment utilisé des fonctions, boucles et instructions conditionnelles.

Présentation et début du projet

La réalisation de ce projet s’inscrit dans le cadre de la 5ème édition du dispositif « Regard de géomètre ». Nos enseignants nous ont donc demandé de réaliser un script en python sur un thème parmi plusieurs qu’ils avaient sélectionnés. Nous avons choisi de faire notre projet sur le thème « Astronomie » car celui-ci nous a aussitôt inspirés. De plus, nous avons une passion commune pour l’astronomie. L’idée nous est donc venue de dessiner la planète Uranus ainsi que ses anneaux (eh oui Uranus possède des anneaux même si ceux-ci sont beaucoup moins imposants que ceux de Saturne 😁) grâce au module turtle de python.

  • Mais avant de coder Uranus, nous avons voulu rajouter un fond noir (le fond d’écran est blanc par défaut) pour symboliser l’espace. Afin de réaliser le fond noir, nous avons augmenté la taille du stylo grace à la fonction pensize() donc en le mettant à une taille égale à 10000. Ensuite nous avons choisi les coordonnées (x, y) du point vers lequel doit se déplacer la tortue (stylo = tortue) : on utilise donc goto(x, y). De plus, il est inutile de préciser la couleur puisque dans ce cas la couleur par défaut est le noir soit exactement la couleur que nous souhaitons obtenir. Enfin, une fois le fond noir réalisé, on réduit la taille du stylo pour que celui-ci ne soit pas trop grand lors de l’exécutions des fonctions suivantes.
  • Ce qui donne le code suivant :
pensize(10000)
goto(100,1)
pensize(5)
  • Ensuite, une fois que le fond noir est codé, il faut passer à la planète Uranus.
  • Dans un premier temps, nous décidons de la dessiner à l’aide de disques dont on augmentera le rayon successivement avec la boucle for i in range(). Mais, chaque fois qu’un disque apparaîtra, il effacera le précédent. Cela n’aurait guère d’importance si nous n’avions pas eu l’idée de faire des disques de couleurs différentes. Ainsi, la couleur finale d’Uranus est celle du dernier disque formé et la planète n’en est pas vraiment une.
  • Nous nous sommes donc rabattus sur les cercles afin de réaliser Uranus. Puis, à force de réfléchir sur le problème et avec un peu de recul, nous avons décidé de partir d’un cercle de rayon 0 puis d’augmenter ce rayon de la valeur de la variable t. En répétant cette action un grand nombre de fois (ici 220 fois) et en faisant en même temps un dégradé de couleur (en réduisant ou en augmentant les valeurs du Rouge et/ou du Vert et/ou du Bleu du code RVB de la couleur initiale par t) on obtient Uranus !
  • Le code python ci-dessous est l’application de ce que nous venons de dire précédemment. Nous allons cependant préciser quelques éléments :
    • Pour définir la fonction uranus, on doit rentrer la valeur du rayon, des coordonnées x et y du point de départ ainsi que définir la couleur du cercle.
    • Ces éléments sont définis après dans la boucle for t in range(220), ainsi que la valeur de la variable t, avant de les définir. Cela permet à la fonction de tracer des cercles de rayons de plus en plus grands.
    • Les éléments présents en dessous de def uranus permettent de positionner la tortue de façon à tracer un cercle.
    • Si vous souhaitez changer la couleur de la planète, vous avez la possibilité de faire un dégradé bleu en remplaçant les valeurs de color = (254 - t, 12 + t, 1 + t) par : color = (40, 221-t, 255).
def uranus(rayon, x, y, couleur=(1, 1, 1)):
    penup()
    goto(x, y)
    pendown()
    pencolor(couleur)
    circle(rayon)

t = 1
for t in range(220):
    x, y = 50,-200
    radius = 0 + t
    color = (254 - t, 12 + t, 1 + t)
    uranus(radius, x, y, color)

Et voici le résultat (fond noir + fonction uranus) :

Améliorations du projet

Une fois la planète obtenue sur fond noir nous contemplons de manière enthousiaste notre travail. Mais il nous reste toujours les anneaux à faire ! Et c’est là que ça se complique.

  • Pour les anneaux, nous pensions tout d’abord à les faire avec des cercles. Après plusieurs tentatives, il faut se rendre à l’évidence : les anneaux avec les cercles ça ne marche pas ! C’est à ce moment-là que l’un d’entre nous se souvient de la présence, sur la calculatrice NumWorks, dans la rubrique « Fonction », d’une fonction appelée « conique » qui trace des ellipses. La forme de l’ellipse nous semblant similaire à celle des anneaux, nous décidons donc de tracer des ellipses pour les anneaux. Comme nous ne savons pas comment coder une ellipse avec le module turtle de python, nous faisons une recherche sur Internet. Nous tombons alors sur une fonction très simple permettant de tracer une ellipse. Nous l’ajoutons alors au script.
  • Puis, nous remanions le script trouvé sur Internet en reprenant les mêmes principes utilisés précédemment dans la fonction uranus c’est-à-dire en augmentant progressivement la taille du rayon et en faisant un dégradé de couleurs. Pour définir la couleur, nous avons utilisé pencolor() afin que la couleur des anneaux soit autre que noir. Puis nous avons aussi rajouté pensize(5) avant for j in range(30) pour augmenter la taille du tracé. Enfin nous avons changé la valeur de seth() afin que les anneaux soient inclinés vers le bas droit de l’image, ainsi que la valeur de la fonction anneaux() dans le but que ceux-ci soient assez grands pour que la planète se situe bien au milieu.
  • Et comme d’habitude ne pas oublier de définir la variable avant son utilisation (sinon ça ne marche pas😉). Ci-dessous le code python des anneaux ainsi qu’Uranus + ses anneaux.
# Source: https://stacklima.com/dessiner-une-ellipse-a-laide-de-turtle-en-python/
j = 1
def anneaux(rad):
  pensize(5)
  for j in range(30):
    pencolor(255- 5*j, 255- 5*j, 255- 5*j)
    circle(rad + j,90)
    circle(rad//2 + j,90)

seth(-80) 
anneaux(290)

Arrivés à ce stade-là, on aurait pu arrêter. On avait la planète Uranus, ses anneaux et le fond noir. Mais l’image semblait un peu vide, on a donc eu l’idée de rajouter quelque chose en fond d’écran : des étoiles.

  • Pour dessiner les étoiles, c’est assez facile. Si on veut dessiner une étoile à 5 branches on peut dessiner une partie de l’étoile et répéter cette action cinq fois. Tout ceci en utilisant (encore) une fonction, dans laquelle on doit définir la longueur d’un trait, les coordonnées (x, y) du point de départ ainsi que la couleur de l’étoile. Avant de coder la fonction on met la taille du stylo à 5 avec pensize(5) pour remplir l’interieur de l’étoile (il est inutile de le préciser avant puisqu’on l’a déjà mis dans le code du fond noir qui est situé avant la fonction etoiles). On choisit aussi de préférence une longueur assez basse (mais pas trop quand même). 4 est un bon chiffre par exemple.
  • La boucle for i in range(5) permet de dessiner 5 fois deux demi-branches d’étoiles pour obtenir une étoile (il faut faire attention aux mesures d’angles et si l’on tourne à droite ou à gauche). La boucle for i range(210) permet de dessiner 210 étoiles. Dans cette boucle, on définit les coordonnées (x, y) ainsi que la couleur de l’étoile grâce au module randint. Celui-ci permet, pour chaque étoile, de définir des coordonnées aléatoires comprises entre -800 et 800 pour x et -400 et 400 pour y. C’est le même principe pour les couleurs à part que l’on a réduit l’écart entre les nombres pour obtenir comme couleur (toujours de manière aléatoire) du jaune, de l’orange ou des couleurs s’en rapprochant de très près.

Le code python des étoiles :

def etoiles(longueur, x, y, couleur=(1, 1, 1)):
    penup()
    goto(x, y)
    pendown()
    pencolor(couleur)
    for i in range(5):
        forward(longueur)
        left(74.2)
        forward(longueur)
        right(146)

for i in range(210):
    x, y = randint(-800, 800), randint(-400, 400)
    longueur = 4
    color = (randint(247, 255), randint(127, 255), randint(0, 12)) 
    etoiles(longueur, x, y, color)

Et le résultat :

Finalisation du projet

Enfin, nous avons pensé à rajouter le plus grand satellite naturel d’Uranus, Titania (à ne pas confondre avec Titan qui lui est le plus grand satellite naturel de Saturne).

  • On s’est dit que rajouter un petit détail supplémentaire pourrait être intéressant. On a tout de suite pensé à rajouter son plus grand satellite naturel. Pour le faire, on a utilisé le même procédé que pour Uranus, à savoir des cercles qui augmentent progressivement de rayon et un dégradé de couleurs. Mais cette fois-ci, pour plus d’originalité, nous avons utilisé des instructions conditionnelles pour faire le dégradé de couleur en fonction de la taille des cercles.
  • On utilise une boucle while cette fois-ci (on aurait pu aussi utiliser une boucle for comme dans les autres fonctions et vice versa). Ici on prend radius (le rayon du cercle) comme variable puis on l’augmente de 1 (avec +=) jusqu’à ce que radius soit égal à 30 : le principe reste donc le même qu’avec une boucle for.
  • Puis, dans la boucle while, on utilise des instructions conditionnelles afin que les cercles soit d’une certaine couleur en fonction de leur taille. Ainsi, la première condition (if) s’applique aux cercles dont le rayon est inférieur ou égal à 28 et dont la couleur sera du marron très clair. La deuxième condition (elif) concerne les cercles ayant un rayon compris entre 28 (non inclus) et 29 (inclus) : la couleur du cercle sera marron clair. A noter que l’on aurait pu remplacer elif radius > 28 and radius <= 29: par elif radius == 29: . Enfin, la troisième et dernière condition (else) concerne tous les cercles dont le rayon va jusqu’à 30 (mais ne concerne pas ceux des précédentes conditions), qui auront donc un couleur marron.
  • Le code et l’image obtenus :
def titania(rayon, x, y, couleur=(1, 1, 1)):
    penup()
    goto(x, y)
    pendown()
    pencolor(couleur)
    circle(rayon)
    
x, y = -200, 100
radius = 0
while radius <= 30:
    radius += 1
    if radius <= 28:
        color = (167-2, 103-2, 38-1)
    elif radius > 28 and radius <= 29:
        color = (136-2, 66-2, 29)   
    else :
        color = (91-2, 60-2, 17)
    titania(radius, x, y, color)

Au cours de la rédaction de notre script python, nous avons rencontré différents problèmes que nous avons essayé de résoudre.

  • Le problème majeur que nous avons rencontré est le décalage des anneaux et de la planète sur l’image quand d’autres fonctions étaient exécutées avant. De plus, comme la même variable i était utilisée pour chaque fonction cela créait des confusions de même que le positionnement des objets sur l’image. Nous avons donc changé le nom des variables afin que chacune est un nom différent (i, j, t et radius) ce qui explique le nom des variables précédentes. Nous avons aussi ajouté les lignes suivantes entre chaque fonction afin d’éviter toutes confusions et pour remettre les fonctions à jour :
penup()
goto(0,0)
pendown()
  • Nous avons aussi eu des problèmes avec la fonction titania, notamment avec le cercle marron qui se décalait trop vers le haut. Nous avons donc réduit l’intervalle dans lequel il était appliqué pour supprimer ce décalage. Nous avons rencontré d’autres problèmes minimes et sans importance notamment sur les valeurs et la précision de celles-ci, qui peuvent faire varier le rendu.

L’image finale

Voici donc le résultat final ci-dessous une fois que tous les éléments ont été assemblés et les problèmes réglés :

Télécharger le .py

Si vous désirez le télécharger (il en format compressé il faudra donc le décompresser😉). Le script contient un code python permettant de générer une image ainsi que les fonctions permettant de dessiner le fond noir, les étoiles, les anneaux, Uranus et Titania (dans l’ordre) :

Projet_NSI_sur_UranusTélécharger